در شکل 6-4 که یک فضای غیر خطی را نشان می دهد ، مجموعه غیرمسلط برابر است با: [do_widget id=kl-erq-2]
که پرانتز های باز نشان دهنده این است که نقاط حدی مربوطه در داخل مجموعه نیستند.
شکل 6-4- یافتن نقاط غیر مسلط در فضای اهداف غیر خطی
5-4-روش های پایه یافتن مجموعه جواب غیرمسلط در مسائل مختلط عدد صحیح
همانطور که بیان شد،از آنجا که فضای تصمیم یک مساله بهینه سازی مختلط عدد صحیح غیر محدب است صلاح نیست از روش های مبتنی بر جمع موزون اهداف به شکل استفاده نمود زیرا از یافتن پاسخ های غیر مسلط پشتیبانی نشده عاجز می باشند. محققین از سال های دور به این مطلب پی برده اند و به طور کلی دو روش پایه جهت یافتن مموعه جواب غیر مسلط در مسائل مختلط عدد صحیح پیشنهاد شده است (آلوس و کلیماکو، 2004)
1-5-4- برنامه ریزی مجموع موزون با محدودیت های اضافی
در این روش محدودیت هایی به مساله اضافه می شود. این محدودیت ها حدودی را روی مقادیر تابع هدف تحمیل می کنند. این امر باعث می شود برنامه مجموع موزون پاسخ های موثر پشتیبانی نشده را نیز بدست بیاورند. این برنامه مدرج شده را می توان به شکل زیر نمایش داد:
که در آن بوده و g یک بردار سطری از حدود اهداف می باشد.
علاوه بر این که هر جوابی که از حل به دست می آید موثر است، همواره یک وجود دارد که به ازای آن یک جواب موثر خاص تولید می کند.
2-5-4- برنامه ریزی بر مبنای نقطه مرجع
تئوری چبیشف ارائه شده توسط بومن (1976) می تواند رویکرد دیگری برای حل در اختیار ما بگذارد .با استفاده از این تئوری می توان به تولید یک مجموعه جواب غیر مسلط ( پشتیبانی شده یا نشده) در فضای اهداف پرداخت.
1-2-5-4- نقطه مرجع
فرض کنید K=1،…،k و یک بردار معیار مرجع باشد که المان های آن برابر است با :

و در آن می بایست اپسیلون مقدار کوچکی انتخاب شود. برای راحتی می توان اپسیلون را کوچکترین عددی انتخاب نمود که به اضافه آن عدد، برابر یک عدد صحیح می شود. منطقه قسمت پائین و چپ نقطه مرجع را دامنه مساله می نامیم. در شکل 7-4 منطقه داخل خط چین ها دامنه مساله می باشد.
2-2-5-4-فاصله چبیشف
برای محاسبه فاصله بین و، می توان از معیار چبیشف موزون استفاده نمود

که در آن اولا داریم و ثانیا به همراه هر معیار چبیشف موزون یک اشعه کاوشگر که از در جهت پائین با ضرائب ساطع می شود وجود دارد. خطوط تراز معیار چبیشف موزون یک دسته مستطیل به مرکز نقطه مرجع شکل می دهند. علاوه بر این، در دامنه مساله، قطرهای تمامی مستطیل ها همان اشعه کاوشگر می باشد. در شکل 7-4 که اشعه کاوشگر در جهت می باشد، مستطیل ها همان خطوط تراز معیار چبیشف موزون با بردار وزنی هستند که از نقطه مرجع ساطع می شوند. با این معیارz1 نزدیک ترین گزینه به نقطه مرجع است زیرا در کوچکترین مستطیل قرار می گیرد. توجه شود که با تغییر بردار وزنی، جهت اشعه کاوشگر را تغییر داده در نتیجه شکل مستطیل های تراز نیز تغییر می کند .
شکل 7-4- فاصله چبیشف و خطوط تراز
3-2-5-4- بردارهای λ-موزون راس-T
توجه کنید که در برخی موردها، چندین بردار وزن λ می توانند در برنامه موزون چبیشف نقطه غیرمسلط یکسانی را حاصل نمایند. با وجود این، یکی از همه این بردارهای وزنی به نام بردار وزنی راس-T ویژگی خاصی دارد. این بردار وزنی برداریست که موجب میشود راس کوچکترین خط تراز تداخل کننده به نقطه ای خاص برخورد نماید. برای یک نقطه خاص و نقطه مرجع، این بردار وزنی از رابطه زیر حاصل می شود
4-2-5-4- نقاط روی کوچکترین خطوط تراز
تا زمانی که نقطه روی کوچکترین خط تراز مماس یکتا باشد، نقطه غیرمسلط است. اگر و تابع قطر زیرفضای غیرمنفی برگردانده شده باشد به قسمی که . آنگاه غیر مسلط است. به شکل 8-4 دقت نمائید.
شکل 8-4- نقاط روی کوچکترین خط تراز مماس